Question

已知函數(shù)f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=2a²有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2的形式，令t=2^x-2^-x，則f（x）可看作關(guān)于t的二次函數(shù)，并根據(jù)x的范圍求出t的范圍，再利用二次函數(shù)求最值的方法求出f（x）的最小值．
（2）關(guān)于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在上有解，而t≠0把t與a分離，得到，則只需求出的范圍，即可求出a的范圍，再借助型的函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可．
解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，則當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，t關(guān)于x的函數(shù)是單調(diào)遞增
∴，此時(shí)f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，f（x）_min=a²+2
當(dāng)時(shí)，．
（2）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在上有解，而t≠0
∴，可證明在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增為奇函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)
∴a的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了二次函數(shù)與其它函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的最值的求法，以及型的函數(shù)的單調(diào)性的判斷．