Question

函數(shù)，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R），集合，
（1）求集合A；
（2）如果b=0，對任意x∈A時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的范圍；
（3）如果b＞0，當(dāng)“f（x）≥0對任意x∈A恒成立”與“g（x）≤0在x∈A內(nèi)必有解”同時成立時，求a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）換元法：令，則x²=t²-1，把不等式轉(zhuǎn)化為t²-6t+8≤0，即可求得集合A；
（2）由f（x）≥0恒成立，即可得到恒成立，分離參數(shù)，得，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，換元，利用導(dǎo)數(shù)即可求得結(jié)果；
（3）同（2），只是此時轉(zhuǎn)化為a≤，即a≤=，根據(jù)（2）可知a+b≤，利用不等式的可加性即可求得a的最大值．
解答：解：（1）令，則x²=t²-1，
f（x）≤0，即，即t²-6t+8≤0，（t-2）（t-4）≤0
∴2≤t≤4，所以2≤≤4，所以x，
即A=；
（2）f（x）≥0恒成立也就是恒成立，
即，
∵，∴，
令，則t∈[2，4]，則y=，∴a≤y恒成立，∴a≤y_min，
由導(dǎo)數(shù)可知，當(dāng)t=2時，y_min=，
∴a≤
（3）對任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴=，
由（2）可知a+b≤       ①，
由g（x）=ax²-b≤0有解，ax²-b≤0有解，即a≤，
∵b＞0，∴a≤=，
∴3a-b≤0        ②
①+②可得a
所以a的最大值為，此時b=．
點評：此題是個難題．考查函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和分類討論的思想方法，同時考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．