如圖，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小為60°，G為BC的中點．
（1）求證：AG⊥DE；
（2）求二面角A-ED-G的余弦值．
精英家教網(wǎng)

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（1）證明：由題意，AB⊥BG，AB⊥BE，所以∠EBC為二面角C-AB-E的平面角，即∠EBG=60°
∵ABCD和ABEF是矩形
∴AB⊥平面BGE
∵AB?平面ABCD，
∴平面EBG⊥平面ABCD
∵BE=2，BG=1
∴由余弦定理可得EG=
3

∴BE2=BG2+EG2
∴EG⊥BC
∵AG?平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴AG⊥EG，
在矩形ABCD中，G為BC中點，∴AG=DG=
2
，AD=2
∴AG2+DG2=AD2
∴AG⊥DG
∵EG∩DG=G
∴AG⊥平面DEG
∵DE?平面DEG
∴AG⊥DE；
（2）以G為坐標(biāo)原點，GD為x軸，GA為y軸，GE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，
2
，0），D（
2
，0，0），E（0，0，
3
）
∴
AE
=（0，-
2
，
3
），
AD
=（
2
，-
2
，0）
面EDG的法向量為
n1
=
GA
=（0，
2
，0）
設(shè)平面AED的一個法向量為
n2
=（x，y，z），則由
n2
•
AE
=0
n2
•
AD
=0
，可得
-
2
y+
3
z=0
2
x-
2
y=0

∴可取
n2
=（3，3，
6
）
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
6
4

∴二面角A-ED-G的余弦值為
6
4
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=
3
，EF=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（I）求證：DF∥平面ABE；
（II）設(shè)
CF
CD
=λ，問：當(dāng)λ取何值時，二面角D-EF-C的大小為
π
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和矩形BCEF所在平面互相垂直，G為邊BF上一點，∠CGE=90°，AD=
3
，GE=2．
（1）求證：直線AG∥平面DCE；
（2）當(dāng)AB=
2
時，求直線AE與面ABF所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，
EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)二面角D-EF-C的大小為45°時，求二面角A-EC-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)二面角D-EF-B的大小為45°時，求二面角A-EC-F的大�。�

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