Question

5．如圖，已知直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，且AC⊥BC，點(diǎn)D是A₁B₁中點(diǎn)．
（1）求證：平面CC₁D⊥平面A₁ABB₁；
（2）若異面直線CD與BB₁所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求點(diǎn)C₁到平面A₁CD的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，利用直線與平面垂直的判定定理，能推導(dǎo)出C₁D⊥面A₁ABB₁，由此能夠證明平面CC₁D⊥平面A₁ABB₁；
（2）設(shè)點(diǎn)C₁到平面A₁CD的距離為h，則由等體積可求點(diǎn)C₁到平面A₁CD的距離．

解答 （1）證明：在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，C₁D?面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，
∵AC=BC=2，∴A₁C₁=B₁C₁=2，
∵點(diǎn)D是A₁B₁中點(diǎn)，∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥面A₁ABB₁，
∵C₁D?平面CC₁D，
∴平面CC₁D⊥平面A₁ABB₁．
（2）解：∵C₁C∥B₁B，異面直線CD與BB₁所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠C₁CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AC=BC=2，且AC⊥BC，
∴C₁D=$\sqrt{2}$，
∴CD=2，C₁C=$\sqrt{6}$，A₁C=$\sqrt{10}$，
∴cos∠A₁DC=$\frac{4+2-10}{2×2×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A₁DC=135°，
∴${S}_{△{A}_{1}DC}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
設(shè)點(diǎn)C₁到平面A₁CD的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×1×h$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴點(diǎn)C₁到平面A₁CD的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查點(diǎn)C₁到平面A₁CD的距離，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，合理運(yùn)用等體積法求點(diǎn)C₁到平面A₁CD的距離．