Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足遞推關(guān)系a_n+1=

2 a 2 n +3an+m

an+1

（m∈N^*）
（1）當(dāng)m=1時，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）當(dāng)m∈N^*時，數(shù)列{a_n}滿足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=1，由an+1=

2an2+3an+1

an+1

，n∈N^*，得：a_n+1+1=2（a_n+1），由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，所以

2an2+3an+m

an+1

≥an，依題意，有m＞-（a_n+1）²+1恒成立．由此能求出滿足題意的m的取值范圍．

解答：解：（1）m=1，由an+1=

2an2+3an+1

an+1

，n∈N^*，
得：an+1=

(2an+1)( an+1)

an+1

=2an+1，
a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，公比也是2的等比例數(shù)列．
于是a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，
∴

2an2+3an+m

an+1

≥an，
即m≥-a_n²-2a_n，
依題意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．
∵a_n≥1，
∴m≥-2²+1=-3，
即滿足題意的m的取值范圍是[-3，+∞）．

點(diǎn)評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，用兩邊夾的方法確定整數(shù)參數(shù)．第Ⅲ小題對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．