Question

已知函數(shù)f（x）在R上有定義，對任何實(shí)數(shù)a＞0和任何實(shí)數(shù)x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）證明f（0）=0；
（Ⅱ）證明f(x)=

kx x≥0 hx x＜0

其中k和h均為常數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的k＞0時(shí)，設(shè)g（x）=

1

f(x)

+f（x）（x＞0），討論g（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

證明（Ⅰ）令x=0，則f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．

（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，則f（x²）=xf（x）．
假設(shè)x≥0時(shí)，f（x）=kx（k∈R），則f（x²）=kx²，而xf（x）=x•kx=kx²，
∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）
假設(shè)x＜0時(shí)，f（x）=hx（h∈R），則f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x•hx=-hx²，
∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴f(x)=

kx，x≥0 hx，x＜0

成立．

（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=

1

f(x)

+f(x)=

1

kx

+kx，g′(x)=-

1

kx2

+k=

x2-1

kx2

令g'（x）=0，得x=1或x=-1；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，∴g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)取得極小值，極小值為g(1)=

1

k

+k