已知函數(shù)f（x）=
3x+1
x+a
（x≠-a，a≠
1
3
）．
（1）求f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求實(shí)數(shù)a的值．
分析：（1）由y=
3x+1
x+a
，得y（x+a）=3x+1，（y-3）x=1-ay．由此能求出所求反函數(shù)．
（2）依題意得f--1（x）=f（x），則
3x+1
x+a
=
1-ax
x-3
，由此能求出a．
解答：解：（1）設(shè)y=
3x+1
x+a
，
則y（x+a）=3x+1，（2分）
整理得（y-3）x=1-ay．（3分）
若y=3，則a=
1
3
，與已知矛盾，
∴y≠3．（4分）
∴x=
1-ay
y-3
．（5分）
故所求反函數(shù)為f-1（x）=
1-ax
x-3
（x≠3）．（7分）
（2）依題意得f--1（x）=f（x），
則
3x+1
x+a
=
1-ax
x-3
，（10分）
整理得3x2-8x-3=-ax2+（1-a2）x+a，
比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，（11分）
有
-a=3
a2-1=8
a=-3

故a=-3．（13分）
點(diǎn)評：本題考查反函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3•2x-1，則當(dāng)x∈N時(shí)，數(shù)列{f（n+1）-f（n）}（　�。�
A、是等比數(shù)列B、是等差數(shù)列C、從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列D、是常數(shù)列

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3-x
+
1
x+2
的定義域?yàn)榧螦，B={x丨m＜x-m＜9}．
（1）若m=0，求A∩B，A∪B；
（2）若A∩B=B，求所有滿足條件的m的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3-x
+
1
x+2
的定義域?yàn)榧螦，B={x|x＜a}．
（1）若A⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若全集U={x|x≤4}，a=-1，求?UA及A∩（?UB）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3-ax
a-1
（a≠1）在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．
（1）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(
x
)＞k•g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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