Question

已知函數(shù)(a,c∈R,a＞0,b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1)＞.

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）f(x)=（2）P ()或(),Q（）或Q(),過(guò)P、Q的直線l的方程: x–4y–1=0即為所求.

解析:

  （1）∵f(x)是奇函數(shù)

∴f(–x)=–f(x)，即

∴–bx+c=–bx–c   ∴c=0

∴f(x)=

由a＞0，b是自然數(shù)得當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)≤0，

當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0

∴f(x)的最大值在x＞0時(shí)取得.

∴x＞0時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)，f(x)有最大值

∴=1,∴a=b²         ①

又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2   ②

把①代入②得2b²–5b+2＜0解得＜b＜2

又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=

（2）設(shè)存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，

P(x₀,y₀)則Q（2–x₀,–y₀)，∴,消去y₀，得x₀²–2x₀–1=0

解之，得x₀=1±,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為()或()

進(jìn)而相應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q（）或Q(). 

過(guò)P、Q的直線l的方程: x–4y–1=0即為所求.