Question

已知橢圓C的方程為，橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過點F₂，交橢圓于A、B兩點，且△ABF₁的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點E為x軸上一點，（λ∈R），若，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得|AF₁|+|BF₁|+|AB|=8，結合|AB|=AF₂|+|BF₂|，可求|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|，根據(jù)橢圓的定義可求a，然后由c得值班可求b，進而可求橢圓的方程
（Ⅱ）設點E的（m，0），由已知可得直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程=1整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程（*）的兩個實根，結合根與系數(shù)得關系及，，代入可求點E的坐標
解答：解：（Ⅰ）依題意，A、B不與橢圓C長軸兩端點重合，因為△ABF₁的周長為8，
即|AF₁|+|BF₁|+|AB|=8，又|AB|=AF₂|+|BF₂|，
所以|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=8．
根據(jù)橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
所以，4a=8，a=2．…（2分）
又因為 c=1，
所以，b=．
所以橢圓C的方程為=1．（4分）
（Ⅱ）設點E的坐標為（m，0），由已知可得直線l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程=1
消去y整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0（*）（6分）
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=144（k²+1）＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程（*）的兩個實根，
由根與系數(shù)的關系可知：（8分）
），），
），）
由已知，得1-x₁=λ（x₂-1）．
由已知x₂≠1，則λ=（9分）
）x₁-m+λ（m-x₂）=x₁-m+
=．
因為）=0=（2，0），
）
∴2（x₁-m+λ（m-x₂））=0
∴+2m=0
化簡得：6m-24=0，m=4，即E（4，0）．（12分）
點評：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，方程的根與系數(shù)的關系的應用，考查了考生的基本運算推理的能力．