Question

設關于x的函數f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值為f（a）．
（1）寫出f（a）的表達式；
（2）試確定能使f(a)=

1

2

的a值，并求出此時函數y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據同角三角函數的基本關系進行化簡，然后轉化為關于cosx的一元二次函數，再根據一元二次函數的性質與cosx的范圍確定函數f（x）的最小值f（a）．
（2）根據（1）中的f（a）的解析式確定f（a）=

1

2

的a的范圍，進而令-

a2

2

-2a-1=

1

2

，求出a的值，最后將a的值代入到函數f（x）中即可根據cosx的范圍和一元二次函數的性質可求出其最大值．

解答：解：（1）f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）=2（cosx-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1．
當a≥2時，則cosx=1時，f（x）取最小值，即f（a）=1-4a；
當-2＜a＜2時，則cosx=

a

2

時，f（x）取最小值，即f（a）=-

a2

2

-2a-1；
當a≤-2時，則cosx=-1時，f（x）取最小值，即f（a）=1；
綜合上述，有f（a）=

1，a≤-2 - 1 2 a2-2a-1，-2＜a＜2 1-4a，a≥2.

（2）若f（a）=

1

2

，a只能在[-2，2]內．
解方程-

a2

2

-2a-1=

1

2

，得a=-1，和a=-3．因-1∈[-2，2]，故a=-1為所求，此時
f（x）=2（cosx+

1

2

）²+

1

2

；當cosx=1時，f（x）有最大值5．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系和一元二次函數的基本性質．考查基礎知識的綜合應用和靈活運用．