Question

（本題滿分12分）

甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，

答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.用表示甲隊(duì)的總得分.

（1）求的概率及的數(shù)學(xué)期望；

（2）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求.

 

Answer 1

【答案】

（1）E=2；（2）P(AB) =

【解析】本題考查相互獨(dú)立重復(fù)事件的概率計(jì)算，離散變量的分步列、期望的計(jì)算，解題時(shí)要明確事件之間的關(guān)系并準(zhǔn)確計(jì)算．

（Ⅰ）因?yàn)榧僭O(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，結(jié)合獨(dú)立事件概率的乘法公式得到結(jié)論。

（Ⅱ）由題意，ξ可取的值為0、1、2、3，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=3）、P（ξ=4），進(jìn)而可得ξ的分步列，進(jìn)而由期望公式，計(jì)算可得答案．

解  （1）方法一  由題意知，的可能取值為0，1，2，3，且

P（=0）=,P(=1)=,

P(=2)=,P(=3)=.

所以的分布列為

	0	1	2	3
P

的數(shù)學(xué)期望為E=0×+1×+2×+3×=2.

方法二  根據(jù)題設(shè)可知, _~B,

故P(=1)=

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810395376781056/SYS201209081040185387483181_DA.files/image001.png">_~B,所以E=3×=2.--------------------6分

(2)方法一  用C表示“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”這一事件，用D表示“甲隊(duì)得3分乙隊(duì)得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C、D互斥，

P（C）=    P（D）=

由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=.

方法二  用A_k表示“甲隊(duì)得k分”這一事件，用B_k表示“乙隊(duì)得k分”這一事件，k=0，1，2，3.由于事件A₃B₀，A₂B₁為互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B₀∪A₂B₁）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）.由題設(shè)可知，事件A₃與B₀獨(dú)立，事件A₂與B₁獨(dú)立，因此

P（AB）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B₀）+P（A₂）P（B₁）

=---------------------12分