Question

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%．生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立．
（1）記X（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列；
（2）求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意做出變量的可能取值是10，5，2，-3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，寫出變量的概率和分布列．
（2）設(shè)出生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4-n件，根據(jù)生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元，列出關(guān)于n的不等式，解不等式，根據(jù)這個數(shù)字屬于整數(shù)，得到結(jié)果，根據(jù)獨立重復(fù)試驗寫出概率．

解答：解：（1）由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列為：

（2）設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4-n件．
由題設(shè)知4n-（4-n）≥10，
解得n≥

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5

，
又n∈N，得n=3，或n=4．
所求概率為P=C₄³×0.8³×0.2+0.8⁴=0.8192
答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查獨立重復(fù)試驗的概率公式，考查互斥事件的概率，是一個基礎(chǔ)題，這種題目可以作為高考題的解答題目出現(xiàn)．