Question

下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是（1，+∞）上的增函數(shù)的是（　�。�

A、f（x）=2^x+2^-x

B、f（x）=2^-x-2^x

C、f（x）=x+lnx

D、f（x）=xln|x|

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性，注意函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱．然后利用函數(shù)增減性的定義判斷函數(shù)在（1，+∞）上的增減性．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性．

解答：解：A選項(xiàng)中，f（x）=2^x+2^-x，定義域?yàn)镽，
∵f（-x）=2^-x+2^-（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）在R上為偶函數(shù)．故A不正確．
B選項(xiàng)中，f（x）=2^-x-2^x，定義域?yàn)镽，
f（-x）=2^-（-x）-2^-x=2^x-2^-x=-f（x），
∴f（x）在R上為奇函數(shù)．
∵x∈（1，+∞）時，f（x）為減函數(shù)，故B不正確．
C選項(xiàng)中，f（x）=x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，函數(shù)不具有奇偶性，故C不正確．
D選項(xiàng)中，f（x）=xln|x|定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．
f（-x）=-xln|-x|=-xln|x|=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)．
又對任意x₁，x₂∈（1，+∞），當(dāng)x₁＜x₂時，有f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x） 在（1，+∞）單調(diào)遞增．故D正確．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性的判斷．熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解答的關(guān)鍵