已知函數(shù)

（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間上的任意兩個(gè)值總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的 “凹函數(shù)”．試證當(dāng)時(shí)，為“凹函數(shù)”．

 

【答案】

（1）（2）理解凹函數(shù)的定義 ，然后結(jié)合中點(diǎn)函數(shù)值與任意兩點(diǎn)的函數(shù)值和的關(guān)系式作差法加以證明。

【解析】

試題分析：解(1)由,得

函數(shù)為上單調(diào)函數(shù). 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù),則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.

令,上述問題等價(jià)于,而為在上的減函數(shù),則,于是為所求.

(2)證明:由得

 

而 ①

又, ∴ ②

∵  ∴,

∵ ∴ ③ 

由①、②、③得

即,從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)

考點(diǎn)：新定義和函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用

點(diǎn)評：結(jié)合均值不等式的思想，以及函數(shù)的解析式來求解，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)

（1）若在上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（2）若求在[－3,0]上的最大值和最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）若在處取得極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）若存在時(shí)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年天津市薊縣高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

【題文】已知函數(shù).

（1）若在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，求在區(qū)間上的最大值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省高三第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù).

（1）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若是的極值點(diǎn)，求在上的最小值和最大值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖南省高三第一次學(xué)情摸底考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本題滿分13 分）

    已知函數(shù)

   （1）若在的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

   （2）若在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a 取值范圍；

   （3）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，若存在，試出實(shí)數(shù)m 的值；若不存在，說明理由．

 

 

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