已知函數(shù)
(1)若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間上的任意兩個值總有以下不等式成立,則稱函數(shù)為區(qū)間上的 “凹函數(shù)”.試證當時,為“凹函數(shù)”.
(1)(2)理解凹函數(shù)的定義 ,然后結合中點函數(shù)值與任意兩點的函數(shù)值和的關系式作差法加以證明。
【解析】
試題分析:解(1)由,得
函數(shù)為上單調(diào)函數(shù). 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù),則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.
令,上述問題等價于,而為在上的減函數(shù),則,于是為所求.
(2)證明:由得
而 ①
又, ∴ ②
∵ ∴,
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即,從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)
考點:新定義和函數(shù)性質(zhì)的運用
點評:結合均值不等式的思想,以及函數(shù)的解析式來求解,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分12分)已知函數(shù)(1)若在處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)若存在時,使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年天津市薊縣高三上學期期中考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
【題文】已知函數(shù).
(1)若在處取得極大值,求實數(shù)的值;
(2)若,求在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江省高三第一次月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若是的極值點,求在上的最小值和最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年湖南省高三第一次學情摸底考試數(shù)學卷 題型:解答題
(本題滿分13 分)
已知函數(shù)
(1)若在的圖象上橫坐標為的點處存在垂直于y 軸的切線,求a 的值;
(2)若在區(qū)間(-2,3)內(nèi)有兩個不同的極值點,求a 取值范圍;
(3)在(1)的條件下,是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個交點,若存在,試出實數(shù)m 的值;若不存在,說明理由.
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