Question

已知f(x)是定義在[－1，1]的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若a、b∈[－1，1]，a＋b≠0時，有 (1) 判斷函數(shù)f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)還減函數(shù)，并證明你的結(jié)論； (2) 解不等式 (3) 若f(x)≤m2－2am+1，對所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：證明：設x1，x2∈[—1，1]，且x1＜x2，在中，令a＝x1，b＝—x2，有＞0，∵x1＜x2，∴x1－x2＜0(文7分) 又∵f(x)是奇數(shù)，∴f(－x2)＝－f(x2)∴＞0∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 故f(x)在[－1，1]上為增函數(shù)．……(文13分)(理7分)

(3)

解：∵f(1)＝1且f(x)在[－1，1]上為增函數(shù)．對x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)＝1．由題意，對所有的x∈[－1，1]，b∈[—1，1]，有f(x)≤m2－2bm＋1恒成立，應有m2－2bm＋1≥1m2－2bm≥0．記g(b)＝－2mb＋m2，對所有的b∈[－1，1]，g(b)≥成立．只需g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零． 若m＞0時，g(b)＝－2mb＋m2是減函數(shù)，故在[－1，1]上，b＝1時有最小值，且[g(b)]最小值＝g(1)＝－2mb＋m2≥0m≥2； 若m＝0時，g(b)＝0這時[g(b)]最小值＝0滿足已知，故m＝0； 若m＜0時，g(b)＝－2mb＋m2是增函數(shù)，故在[－1，1]上，b＝－1時有最小值， 且[g(b)]最小值＝g(－1)＝2m＋m2≥0m≤－2．] 綜上可知，符合條件的m的取值范圍是：m∈(－，－2∪{0}∪[2，＋