Question

（2008•湖北模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)bn=

1

a2n

，求{b_n}的前項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，知2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=

3

4

•2n，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)．
（2）由bn=

1

a2n

=

1

3 4 •22n

=

4

3

•(

1

2

)2n=

4

3

(

1

4

)n，由此能求出{b_n}的前項(xiàng)和．

解答：解（1）∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，
2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，
∴2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=

3

4

•2n，
又n=1時(shí) 2a₁=4¹-1得a₁=3/2，
∴an=

3

4

•2n（6分）
（2）∵bn=

1

a2n

=

1

3 4 •22n

=

4

3

•(

1

2

)2n=

4

3

(

1

4

)n（9分）
故{b_n}是以

1

3

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴Sn=

1 3 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

4

9

-

4

9

(

1

4

)n．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和前n項(xiàng)和的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．