如圖,在三棱柱中,
是正方形
的中心,
,
平面
,且
(Ⅰ)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)為棱
的中點,點
在平面
內(nèi),且
平面
,求線段
的
長.
|
.本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分13分.
方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點B為坐標(biāo)原點.
依題意得
![]() |
(I)解:易得,
于是
所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為
(II)解:易知
設(shè)平面AA1C1的法向量,
則即
不妨令可得
,
同樣地,設(shè)平面A1B1C1的法向量,
則即
不妨令
,
可得
于是
從而
所以二面角A—A1C1—B的正弦值為
(III)解:由N為棱B1C1的中點,
得設(shè)M(a,b,0),
則
由平面A1B1C1,得
即
解得故
因此,所以線段BM的長為
方法二:
(I)解:由于AC//A1C1,故是異面直線AC與A1B1所成的角.
因為平面AA1B1B,又H為正方形AA1B1B的中心,
可得
因此
所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為
![]() |
(II)解:連接AC1,易知AC1=B1C1,
又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,
所以≌
,過點A作
于點R,
連接B1R,于是,故
為二面角A—A1C1—B1的平面角.
在中,
連接AB1,在中,
,
從而
所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為
(III)解:因為平面A1B1C1,所以
取HB1中點D,連接ND,由于N是棱B1C1中點,
所以ND//C1H且.
又平面AA1B1B,
所以平面AA1B1B,故
又
所以平面MND,連接MD并延長交A1B1于點E,
則
由
得,延長EM交AB于點F,
可得連接NE.
在中,
所以
可得
連接BM,在中,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π |
3 |
π |
4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷解析版) 題型:填空題
如圖,在三棱柱中,
,
,
分別為
,
,
的中點,設(shè)三棱錐
體積為
,三棱柱
的體積為
,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年海南省海口市高三高考調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:選擇題
如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,底面是邊長為2的正三角形,側(cè)棱長為3,則
與平面
所成的角是
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省高二上學(xué)期八校聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:填空題
如圖,在三棱柱中,
側(cè)面
,且
與底面成
角,
,則該棱柱體積的 最小值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,在三棱柱中,
面
,
,
,
分別為
,
的中點.
(1)求證:∥平面
; (2)求證:
平面
;
(3)直線與平面
所成的角的正弦值.
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