Question

已知不等式|x+2|-|x-3|＞m，分別求滿足下列條件m的范圍：
（1）若不等式有解；
（2）若不等式解集為R；
（3）若不等式解集為∅．

Answer 1

分析：由絕對(duì)值的意義可得|x+2|-|x-3|的最大值為5，最小值為-5，由此求得不等式有解、不等式解集為R、不等式解集為∅時(shí)，m的范圍．

解答：解：由于|x+2|-|x-3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2的距離減去它到3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
故它的最大值為5，最小值為-5，
（1）∵不等式|x+2|-|x-3|＞m 有解，∴5＞m，即m的范圍為（-∞，5）．
（2）若不等式|x+2|-|x-3|＞m 解集為R，則有-5＞m，即m的范圍為（5，+∞）．
（3）若不等式|x+2|-|x-3|＞m 的解集為∅，則有m≥5，即m的范圍為[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，函數(shù)的恒成立問(wèn)題、函數(shù)的能成立問(wèn)題，屬于中檔題．