Question

已知函數(shù)f（x）=x²﹣（1+2a）x+alnx（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=﹣1時，求曲線y=f（x）在x=1處切線的方程；
（2）當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=﹣1時，f（x）=x²+x﹣lnx，
則
∴f（1）=2，f′（1）=2
∴曲線y=f（x）在x=1處切線的方程為y﹣2=2（x﹣1）即y=2x；
（2）由題意得，
由f′（x）=0，得
①當(dāng)時，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和，單調(diào)減區(qū)間是；
②當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)x=時，f′（x）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)；
③當(dāng)時，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或a＜x＜1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，）和（a，1），單調(diào)減區(qū)間是；
④當(dāng)a≥1時，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是．