Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1）．?dāng)?shù)列{a_n}中，對(duì)任何正整數(shù)n，等式（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0都成立，且a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≠1；設(shè)b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和，，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a_n代入到函數(shù)g（x）、f（x）中對(duì)式子（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0進(jìn)行整理可得到（a_n-1）•（4a_n+1-3a_n-1）=0，
再由a_n≠1可得到4a_n+1-3a_n-1=0，即再代入到b_n+1=a_n+1-1中即可得到，從而得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式可得到、，再由錯(cuò)位相減法可求出S_n的值，經(jīng)過整理可求出的值，最后再取極限即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）•（4a_n+1-3a_n-1）=0．
根據(jù)已知，a_n≠1∴
∵b₁=a₁-1=1，
，
∴{b_n}是b₁=1，公比的等比數(shù)列．
∴
（Ⅱ）∵
∴①
②
①-②得
+=
∴S_n=16-4（n+4）
而=16
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法以及求極限的方法．考查綜合運(yùn)算能力．