△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且有sin2C+
3
cos(A+B)=0.
(1)a=4,c=
13
,求△ABC的面積;
(2)若A=
π
3
,cosB>cosC,求
AB
BC
-2
BC
CA
-3
CA
AB
的值.
分析:(1)由內(nèi)角和定理得A+B=π-C,代入所給的式子由誘導(dǎo)公式和倍角的正弦公式化簡,由邊的關(guān)系進(jìn)行取舍求出角C,再由余弦定理求出b,分情況代入面積公式求值即可;
(2)根據(jù)條件判斷C和B大小關(guān)系,由(1)求出C,再由條件和內(nèi)角和定理求出B,由角的關(guān)系推出邊的關(guān)系,由數(shù)量積運(yùn)算公式代入
AB
BC
-2
BC
CA
-3
CA
AB
,進(jìn)行求值.
解答:(1)解:由A+B+C=π得,A+B=π-C,代入sin2C+
3
cos(A+B)=0得,
2sinCcosC-
3
cosC=0,∴cosC=0或sinC=
3
2
,
由a=4,c=
13
得,c<a,∴sinC=
3
2
,且C=
π
3
,
由余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosc,
得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3,
當(dāng)b=3時(shí),S=
1
2
ab•sinC
=
1
2
×4×3×
3
2
=3
3
,
當(dāng)b=1時(shí),S=
1
2
ab•sinC
=
3
,
(2)由cosB>cosC,得C>B,
∵A=
π
3
,∴由(1)得,cosC=0,則C=
π
2
,B=
π
6
,
在RT△ABC中,由tanB=
b
a
=
3
3
,得a=
3
b
,
AB
BC
-2
BC
CA
-3
CA
AB
=
AB
BC
-3
CA
AB

=ac•cos
6
-3bc•cos
3

=-
3
2
ac
+
3
2
bc
=0.
點(diǎn)評:本題考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用,以及數(shù)量積的運(yùn)算等綜合應(yīng)用,注意兩個(gè)向量的夾角和內(nèi)角范圍與三角函數(shù)值的關(guān)系,這是易錯(cuò)地方.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對邊.向量
m
=(2,0),
n
=(sinB,1-cosB)
(Ⅰ)若B=
π
3
.求
m
n

(Ⅱ)若
m
n
所成角為
π
3
.求角B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a、b、c三邊成等差數(shù)列,求證:B≤60°.

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在△ABC中,A:B:C=4:2:1,證明
1
a
+
1
b
=
1
c

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△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊.若a(a+b)=c2-b2,則角C為(  )

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(2005•靜安區(qū)一模)在ρABC中,a、b、c 分別為∠A、∠B、∠C的對邊,∠A=60°,b=1,c=4,則
a+b+c
sinA+sinB+sinC
=
2
39
3
2
39
3

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