在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且點（
2
，
6
2
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點A，B分別是橢圓C的左右頂點，直線經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓C上異于點A，B的任意一點，直線AP交于點M，設(shè)直線OM，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1•k2為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用橢圓C的焦距為2，可得a2-b2=1，根據(jù)點（
2
，
6
2
）在橢圓C上，求出參數(shù)a，b，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：法1：由條件可得直線PB的方程，代入橢圓方程，求出P的坐標(biāo)，可得PA的方程，令x=2，得y=-
3
k2
，即M(2，-
3
k2
)，即可證明結(jié)論；法2：利用斜率的計算公式、三點共線的斜率性質(zhì)、點在橢圓上的性質(zhì)即可證明；
解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C的焦距為2，
∴c=1，∴a2-b2=1①--（2分）
又點(
2
，
6
2
)在橢圓C上⇒
2
a2
+
3
2b2
=1②--（4分）
聯(lián)立①②得a2=4，b2=3，或a2=
1
2
＜1（會去）
故橢圓C的方程：
x2
4
+
y2
3
=1．--（6分）
（Ⅱ）證明：法1：由條件可得直線PB的方程為：y=k2（x-2），設(shè)P（xP，yP）．
由
y=k2(x-2)
x2
4
+
y2
3
=1
，得(3+4k22)x2-16k22x+16k22-12=0（*）--（8分）
易知xP，2為（*）方程的兩根，則2xP=
16
k
2
2
-12
3+4
k
2
2
，
∴xP=
8
k
2
2
-6
3+4
k
2
2
，yP=
-12k2
3+4
k
2
2
，
則kPA=
-12k2
3+4
k
2
2
8
k
2
2
-6
3+4
k
2
2
+2
=-
3
4k2
．--（10分）
故直線PA的方程為：y=-
3
4k2
(x+2)．
令x=2，得y=-
3
k2
，即M(2，-
3
k2
)，則k1=
-
3
k2
2
=-
3
2k2
，∴k1k2=-
3
2
．--（12分）
法2：P（xP，yP）（xp≠±2），M（2，yM），則k2=
yP
xP-2
，且
xP2
4
+
yP2
3
=1．
又A，P，M三點共線，則
AP
∥
AM
．
∵
AP
=(xP+2，yP)，
AM
=(4，yM)，
∴4yP=yM(xP+2)⇒yM=
4y P
xP+2
．
則k1=
2yP
xp+2
，∴k1k2=
2yP
xP2-4
=
6(1-
xP2
4
)
xP2-4
=-
3
2
．
點評：熟練掌握橢圓的定義及其性質(zhì)、斜率的計算公式及其直線的點斜式是解題的關(guān)鍵．善于利用已經(jīng)證明過的結(jié)論是解題的技巧．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4ax+2a+12的值域為集合M，集合N={y|y=
x
}，M∩N=M．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求關(guān)于x的方程
x
a+2
=|a-1|+2的根的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），若過F1的直線交曲線C于A、B兩點，求
F2A
•
F2B
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓G與拋物線y2=-4x有一個公共的焦點，且過點（-
6
2
，1）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是橢圓G在第一象限上的任一點，連接PF1，PF2，過P點作斜率為k的直線l，使得l與橢圓G有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，試證明
1
kk1
+
1
kk2
為定值，并求出這個定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F2Q⊥F2P，設(shè)F2Q交l于點Q，證明：當(dāng)點P在橢圓上移動時，點Q在某定直線上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（0，
3
），N（0，-
3
），平面上一動點P滿足|PM|+|PN|=4，記點P的軌跡為P．
（1）求軌跡P的方程；
（2）設(shè)過點E（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l1：y=kx+b1與軌跡P相交于A，B兩點，若y軸上存在一點Q，使得直線QA，QB關(guān)于y軸對稱，求出點Q的坐標(biāo)；
（3）是否存在不過點E（0，1），且不垂直坐標(biāo)軸的直線l，它與軌跡P及圓E：x2+（y-1）2=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點，且滿足
.
ED
-
.
EC
=
.
EG
-
.
EF
？若存在，求出當(dāng)△OCG的面積S取得最小值時k2的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且2a+b=1，則S=2
ab
-（4a2+b2） 的最大值是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點O，A，C分別是雙曲線虛軸的上下頂點，B是雙曲線的左頂點，F(xiàn)為雙曲線的左焦點，直線AB與FC相交于點D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l的參數(shù)方程為：
x=-2+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）當(dāng)α=
π
4
時，求直線l與曲線C交點的極坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法正確的是（　�。�
A、當(dāng)直線l1與l2的斜率k1，k2滿足k1•k2=-1時，兩直線一定垂直
B、直線Ax+By+C=0的斜率為-
A
B
C、過（x1，y1），（x2，y2）兩點的所有直線的方程
y-y1
y2-y1
=
x-x1
x2-x1
D、經(jīng)過點（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案