Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁、F₂，且|F₁F₂|=2，點（1，）在橢圓C上。
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)過F₁的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且△AF₂B的面積為，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為，
由題意可得：橢圓C兩焦點坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂(1，0)，
∴，
∴a=2，
又c=l，b²=4-1=3，
故橢圓的方程為。
(Ⅱ)解法一：當(dāng)直線l⊥x軸，計算得到：，
，不合題意；
 當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=k(x+1)，
由，消去y，得(3+4k²)x²+8k²x +4k²-12=0，
顯然△＞0成立，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
則，
又，
即，
又圓F₂的半徑為，
所以，，
化簡，得17k⁴+k²-18=0，
即(k²-l)(17k²+18)=0，解得k=±1，所以，，
故圓F₂的方程為：(x-l)²+y²=2。
解法二：設(shè)直線l的方程為x=ty-l，
由，消去x得(4+3t2)y²-6ty-9=0，△＞0恒成立，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
則，
所以，，
又圓F₂的半徑為，
所以，，
解得：，
所以，，
故圓F₂的方程為：(x-l)²+y²=2。