Question

一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%，10年后森林面積變?yōu)?span id="mk7vb1s" class="MathJye">

a

2

，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的

1

4

，已知到今年為止，森林面積為

2

2

a．
（1）求p%的值；
（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多還能砍伐多少年？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，根據(jù)每年砍伐面積的百分比，可建立方程，解之即可得到每年砍伐面積的百分比；
（2）設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的

2

2

．根據(jù)題意：到今年為止，森林剩余面積為原來的

2

2

．可列出關(guān)于m的等式，解之即可；
（3）根據(jù)題意設(shè)從今年開始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面積，由題意，建立關(guān)于n的不等關(guān)系，利用一些不等關(guān)系即可求得今后最多還能砍伐多少年．

解答：解：（1）由題意得：a(1-p%)10=

a

2

，即(1-p%)10=

1

2

，
解得：p%=1-(

1

2

)

1

10

（2）設(shè)經(jīng)過m年森林面積為

2

2

a，則a(1-p%)m=

2

2

a，即(

1

2

)

m

10

=(

1

2

)

1

2

，

m

10

=

1

2

，解得m=5
故到今年為止，已砍伐了5年．
（3）設(shè)從今年開始，以后砍了n年，則n年后森林面積為

2

2

a(1-p%)n
令

2

2

a(1-p%)n≥

1

4

a，即（1-p%）ⁿ≥

2

4

，(

1

2

)

n

10

≥(

1

2

)

3

2

，

n

10

≤

3

2

，解得n≤15
故今后最多還能砍伐15年．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、不等式的解法及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：
（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．