Question

已知函數(shù)f(x)=-

3

sinx+3cosx，若x1•x2＞0，且f(x)+f(x2)=0，則|x₁+x₂|的最小值為（　�。�

• A．

  π

  6

• B．

  π

  3

• C．

  π

  2

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：題干錯(cuò)誤：x₁•x₂＞0，且f（x）+f（x₂）=0，應(yīng)該 x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0．

利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為=-2

3

sin（x-

π

3

），由題意可得|x₁+x₂|的最小值等于函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點(diǎn)的2倍，求出函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點(diǎn)，
即可求得結(jié)果．

解答：解：∵f(x)=-

3

sinx+3cosx=2

3

（-

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2

3

 sin（

π

3

-x）=-2

3

sin（x-

π

3

），x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0，
∴x₁+x₂ 等于函數(shù)的零點(diǎn)的2倍，∴|x₁+x₂|的最小值等于函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點(diǎn)的2倍．
∴令-2

3

sin（x-

π

3

）=0 可得sin（x-

π

3

）=0，x-

π

3

=kπ，k∈z．故函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點(diǎn)為

π

3

，故|x₁+x₂|的最小值為

2π

3

，
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，求函數(shù)的零點(diǎn)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．