Question

17．已知△ABC的頂點A（1，3），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-3y+2=0，AC邊上的高BH所在直線方程為2x+3y-9=0．求：
（1）直線BC的方程；
（2）△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先求直線AC的方程，然后求出C的坐標；設(shè)出B的坐標，求出M代入直線方程為2x-3y+2=0，與直線為2x+3y-9=0．聯(lián)立求出B的坐標然后可得直線BC的方程．
（2）求出|BC|，點A到直線BC的距離，即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）設(shè)AC邊所在直線方程為3x-2y+c=0，
依題意得3×1-2×3+c=0即c=3，即AC邊所在直線方程為3x-2y+3=0
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+2=0}\\{3x-2y+3=0}\end{array}\right.$，得C（-1，0）…（4分）
設(shè)B（a，b），又A（1，3）M是AB的中點，則M（$\frac{a+1}{2}$，$\frac{b+3}{2}$）
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-9=0}\\{2•\frac{a+1}{2}-3•\frac{b+3}{2}+2=0}\end{array}\right.$得B（3，1）…（6分）
由兩點式直線BC的方程為$\frac{y-0}{1-0}=\frac{x+1}{3+1}$，即x-4y+1=0…（8分）
（2）$|{BC}|=\sqrt{{{（3+1）}^2}+{1^2}}=\sqrt{17}$，…（9分）
點A到直線BC的距離$d=\frac{|1-4×3+1|}{{\sqrt{{1^2}+{{（-4）}^2}}}}=\frac{10}{{\sqrt{17}}}$…（10分）
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{BC}|•d=\frac{1}{2}•\frac{10}{{\sqrt{17}}}•\sqrt{17}=5$…（12分）

點評 本題考查兩條直線的交點，待定系數(shù)法求直線方程，考查三角形面積的計算，是基礎(chǔ)題．