Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面SDC⊥底面ABCD，AD=

2

，DC=SD=2，SC=2

2

，點M是側(cè)棱SC的中點．
（Ⅰ）求證：SD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AM-B的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證SD⊥平面ABCD，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知只需證明平面SDC⊥底面ABCD，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，滿足面面垂直的判定定理的條件；
（Ⅱ）以D為坐標原點，以DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建系D-xyz，然后求出平面CAM的一個法向量和平面AMB的一個法向量，求出兩法向量所成角即為二面角C-AM-B的平面角．

解答：證明：（Ⅰ）因為DC=SD=2，SC=2

2

，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD?平面SDC，
所以，SD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DCSD⊥AD，又AD⊥DC，建系D-xyz．
于是，A(

2

，0，0)，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），

AM

=(-

2

，1，1)，

AC

=(-

2

，2，0)，
設(shè)

n1

=(x，y，z)為平面CAM的一個法向量，
則

- 2 x+y+z=0 - 2 x+2y=0

，得

n1

=(

2

，1，1)
又

AB

=(0，2，0)，設(shè)

n2

=(x，y，z)為平面AMB的一個法向量，
則

y=0 - 2 x+y+z=0

，得

n2

=(1，0，

2

)
因為cos＜

n1

，

n2

＞=

2 + 2

4× 3

=

6

6

，所以二面角C-AM-B為：arccos

6

6

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．