Question

已知函數(shù)f(x)=lg

1-x

1+x

，其中x∈（-1，1）．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x，y為函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意二個值，求證：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由題意求得 f（x）+f（y）=lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，化簡 f（

x+y

1+xy

） 可得它等于 lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）由于函數(shù)的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：∵x，y為函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意二個值，f(x)=lg

1-x

1+x

，
∴f（x）+f（y）=lg

1-x

1+x

+lg

1-y

1+y

=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1-y)

=lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，
f（

x+y

1+xy

）=lg

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，
故有 f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，式子的變形，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．