Question

（1）在長度為a的線段AB上任意作一點(diǎn)C，求|CB|≤|CA|的概率；
（2）若將長度為a的線段截成三段，則三段長能圍成一個(gè)三角形的概率有多大．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB長度為1，根據(jù)題意，做出圖形，取AB的中點(diǎn)P，分析易得當(dāng)C在PB之間時(shí)，|CB|≤|CA|成立；由幾何概型轉(zhuǎn)化為求線段PB與AB的長度之比，進(jìn)而計(jì)算可得答案；
（2）設(shè)三截得的三段長分別為x，y，a-x-y，根據(jù)題意，可得可得

0＜x＜a 0＜y＜a x+y＜a

，由三角形的三邊關(guān)系，可得滿足

x+y＞a-x-y x+a-x-y＞y y+1-x-y＞x

，即

x+y＞ a 2 y＜ a 2 x＜ a 2

，求出兩個(gè)區(qū)域的面積，由幾何概型知識可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)區(qū)域的面積之比，代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)AB長度為1，如圖，取AB的中點(diǎn)P，分析易得當(dāng)C在PB之間時(shí)，|CB|≤|CA|成立；
則其概率為

1 2

1

=

1

2

；
故|CB|≤|CA|的概率為

1

2

；
（2）設(shè)三截得的三段長分別為x，y，a-x-y，
可得

0＜x＜a 0＜y＜a x+y＜a

，其面積為

a2

2

，
能構(gòu)成三角形時(shí)，需要滿足

x+y＞a-x-y x+a-x-y＞y y+1-x-y＞x

，即

x+y＞ a 2 y＜ a 2 x＜ a 2

，如圖
易得其面積為

1

8

，
則所求概率為 P=

1 8

1 2

=

1

4

．
故三段可以構(gòu)成三角形的概率為

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查幾何概型的應(yīng)用，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．