Question

已知直線l₁：x+2y+1=0，l₂：-2x+y+2=0，它們相交于點(diǎn)A．
（1）判斷直線l₁和l₂是否垂直？請給出理由；
（2）求A點(diǎn)的坐標(biāo)及過點(diǎn)A且與直線l₃：3x+y+4=0平行的直線方程（請給出一般式）
（3）求直線l₁上點(diǎn)P（1，y₁），Q（x₂，1）與B（2，1）構(gòu)成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）分別可得直線l₁，l₂的斜率，看是否滿足k₁•k₂=-1；
（2）聯(lián)立

x+2y+1=0 -2x+y+2=0

，解方程組可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由平行關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而可得直線的方程；
（3）易得P，Q的坐標(biāo)，可得|PQ|，又可得點(diǎn)B（2，1）到直線l₁的距離為d，代入面積公式可得．

解答：解：（1）可得直線l₁：x+2y+1=0，
l₂：-2x+y+2=0的斜率分別為k₁=-

1

2

，k₂=2，
滿足k₁•k₂=-

1

2

×2=-1，
∴l(xiāng)₁，⊥l₂
（2）聯(lián)立

x+2y+1=0 -2x+y+2=0

，解方程組可得

x= 3 5 y=- 4 5

，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

5

，-

4

5

），由于直線l₃：3x+y+4=0的斜率為-3，
故所求直線的方程為y-（-

4

5

）=-3（x-

3

5

），
化為一般式可得：3x+y-1=0
（3）把x=1代入x+2y+1=0可得y₁=-1，把y=1代入x+2y+1=0可得x₂=-3，
∴P，Q的坐標(biāo)分別為（1-，1）和（-3，1），
∴|PQ|=

(-3-1)2+(1-1)2

=4，
點(diǎn)B（2，1）到直線l₁的距離為d=

|2×1+2×1+1|

12+22

=

5

，
∴所求三角形的面積為S=

1

2

|PQ|d=

1

2

×4×

5

=2

5

點(diǎn)評：本題考查直線的一般式方程，涉及三角形的面積的求解和兩直線垂直的判定，屬基礎(chǔ)題．