Question

有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器(切、焊損耗忽略不計(jì)）.有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì):如圖(a)，在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的高為小正方形邊長(zhǎng)，如圖(b).

(1)請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體的最大容積V₁；

(2)由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷(材料有所浪費(fèi)），請(qǐng)你重新設(shè)計(jì)切、焊方法，使材料浪費(fèi)減少，而且所得長(zhǎng)方體容器的容積V₂＞V₁.

Answer 1

解:(1)設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x,則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4-2x,高為x,

    ∴V₁=(4-2x)²·x=4(x³-4x²+4x)(0＜x＜2).

    ∴V₁′=4(3x²-8x+4).

    令V₁′=0,得x₁=,x₂=2(舍去).

    而V₁′=12(x-)(x-2),

    又當(dāng)x＜時(shí)，V₁′＞0;當(dāng)＜x＜2時(shí)，V₁′＜0,

    ∴當(dāng)x=時(shí)，V₁取最大值.

    (2)重新設(shè)計(jì)方案如下:

    如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③,將圖②焊成長(zhǎng)方體容器.

    新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞V₁.

    故第二種方案符合要求.