Question

已知直線與曲線相切．
（1）求b的值
（2）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有兩個(gè)解x₁，x₂．
求：①m的取值范圍     ②比較x₁x₂+9與3（x₁+x₂）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），設(shè)出切點(diǎn)（x，y），然后根據(jù)在x=x的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點(diǎn)在切線和函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出b的值；
（2）①構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化成使h（x）圖象在（0，+∞）內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，建立關(guān)系式，解之即可求出m的范圍．②做差比較較x₁x₂+9與3（x₁+x₂）的大�。�
解答：解：（1）∵，∴f'（x）=x²-b
設(shè)切點(diǎn)為（x，y），依題意得
解得：b=3
（2）設(shè)
則h'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）．
1令h'（x）=023，得x=-14或x=35在（0，3）6上，h'（x）＜07，
故h（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上，h'（x）＞0，
故h（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
若使h（x）圖象在（0，+∞）內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則需，∴-9＜m＜0
此時(shí)存在x＞3時(shí)，h（x）＞0，例如當(dāng)x=5時(shí)，．
∴①所求m的范圍是：-9＜m＜0．
②由①知，方程f（x）=x²+m2在（0，+∞）3上有兩個(gè)解x₁，x₂，
滿足0＜x₁＜3，x₂＞3，x₁x₂+9-3（x₁+x₂）=（3-x₁）（3-x₂）＜0，
x₁x₂+9＜3（x₁+x₂）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．