已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(I)當(dāng)a>0時,求函數(shù)y=f(x)的極值;
(II)若函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點連線的斜率都小于2,求證:-
6
<a<
6

(III)對任意x0∈[0,1],y=f(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率為k,求證:1≤a≤
3
是|k|≤1成立的充要條件.
分析:(I)先求導(dǎo)函數(shù)f'(x),然后令f'(x)=0求得方程的根據(jù),然后判定每個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)符號,從而求出函數(shù)的極值點,代入原函數(shù)即可求出極值;
(II)設(shè)x1,x2∈R則k=
f(x2)-f(x1
x2-x1
=-[x12+x1x2+x22-a(x1+x2)]<2,即x12+(x2-a)x1+x22-ax2+2>0,對x1∈R恒成立,利用判別式可知△=(x2-a)2-4(x22-ax2+2)<0,對x2∈R恒成立,再運用判別式可求出a的范圍;
(III)k=f'(x)=-3x2+2ax,對任意的 x∈(0,1),|k|≤1,可轉(zhuǎn)化成|-3x2+2ax|≤1對任意的x∈(0,1)恒成立,
等價于3x-
1
x
≤2a≤
1
x
+3x
對任意的x∈(0,1)恒成立,可求出a的范圍.
解答:解:(I)f'(x)=-3x2+2ax=-3x(x-
2
3
a
) 由f'(x)=0得,x=0或x=
2a
3

而a>0,列出下表
x (-∞,0) 0 (0,
2a
3
2a
3
2a
3
,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減
所以,當(dāng)x=0時,f(x)取得極小值,極小值等于b;
當(dāng)x=
2a
3
,f(x)取得極大值,極大值等于
4a3
27
+b;  …..(4分)
證明:(II)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),不妨設(shè)x1>x2
設(shè)x1,x2∈R則k=
f(x2)-f(x1
x2-x1
=-[x12+x1x2+x22-a(x1+x2)]<2
即x12+(x2-a)x1+x22-ax2+2>0,對x1∈R恒成立
∴△=(x2-a)2-4(x22-ax2+2)<0,對x2∈R恒成立
即3x22-2ax2+(8-a2)>0對x2∈R恒成立
∴4a2-12(8-a2)<0
解得a2<6⇒:-
6
<a<
6
;  
(III)k=f'(x)=-3x2+2ax   x∈(0,1),
∴對任意的 x∈(0,1),|k|≤1,即)|-3x2+2ax|≤1對任意的x∈(0,1)恒成立
等價于3x-
1
x
≤2a≤
1
x
+3x
對任意的x∈(0,1)恒成立.
令g(x)=
1
x
+3x
,h(x)=3x-
1
x
,
1
2
h(x)max≤a≤
1
2
g(x)min,x∈(0,1)
1
x
+3x
2
3
,當(dāng)且僅當(dāng)x=
3
3
時“=”成立,∴g(x)min=2
3

h(x)=3x-
1
x
在(0,1)上為增函數(shù)∴h(x)max<2
∴1≤a≤
3
是|k|≤1成立的充要條件.
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,以及恒成立問題的求解,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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