42、給出下列命題:
①如果函數(shù)f(x)對(duì)任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,則函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù);
②如果函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R,都滿足f(x)=-f(2+x),那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù);
③函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(x+1)-2的圖象一定不能重合;
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí),f′(x)>g′(x).
其中正確的命題是
①②④
.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
分析:(1)由題意可知,對(duì)任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,當(dāng)x1>x2時(shí),f(x1)<f(x2),當(dāng)x1<x2時(shí),f(x1)>f(x2),可知函數(shù)隨著x的遞增而遞減,遞減而遞增,因而可知函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù);
(2)由題意知f(x)=-f(2+x),因而可知f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因而可知函數(shù)的周期為4.
(3)根據(jù)函數(shù)的平移,可知函數(shù)y=f(x+1)-2先向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,存在函數(shù)f(x)=2x使得圖象可以重合.
(4)由f(-x)=-f(x)且x>0時(shí),f′(x)>0,知函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱且單調(diào)遞增,由g(-x)=g(x)且x>0時(shí),g′(x)>0,可知函數(shù)g(x)關(guān)于y軸對(duì)稱且先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,因此可判斷出x<0時(shí),f′(x)>g′(x).
解答:解:(1)由題意可知,
對(duì)任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,
當(dāng)x1>x2時(shí),
f(x1)<f(x2),
當(dāng)x1<x2時(shí),
f(x1)>f(x2),
可知函數(shù)隨著x的遞增而遞減,遞減而遞增,
因而可知函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),故此命題正確;
(2)由題意知f(x)=-f(2+x),
因而可知f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
因而可知函數(shù)的周期為4,故此命題正確.
(3)根據(jù)函數(shù)的平移,
可知函數(shù)y=f(x+1)-2先向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,
存在函數(shù)f(x)=2x使得圖象可以重合,故此命題錯(cuò)誤.
(4)由f(-x)=-f(x)
且x>0時(shí),f′(x)>0,
知函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱且單調(diào)遞增,
由g(-x)=g(x)
且x>0時(shí),g′(x)>0,
可知函數(shù)g(x)關(guān)于y軸對(duì)稱且先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,
因此可判斷出x<0時(shí),f′(x)>g′(x),故此命題正確,
故答案為:①②④.
點(diǎn)評(píng):此題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性和周期性的判斷方法及相關(guān)計(jì)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①如果向量
a
,
b
,
c
共面,向量
b
,
c
,
d
也共面,則向量
a
,
b
,
c
d
共面;
②已知直線a的方向向量
a
與平面α,若
a
∥平面α,則直線a∥平面α;
③若P、M、A、B共面,則存在唯一實(shí)數(shù)x、y使
MP
=x
MA
+y
MB
;
④對(duì)空間任意點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
(其中x+y+z=1),則P、A、B、C四點(diǎn)共面; 在這四個(gè)命題中為真命題的序號(hào)有
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①如果a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面;
②如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β;
③若直線a,b是異面直線,直線b,c是異面直線,則直線a,c也是異面直線;
④已知平面α⊥平面β,且α∩β=b,若a⊥b,則a⊥平面β;
⑤已知直線a⊥平面α,直線b在平面β內(nèi),a∥b,則α⊥β.
其中正確命題的序號(hào)是
②⑤
②⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①如果函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R,都有f(a+x)=f(a-x)(a是常數(shù)),那么函數(shù)f(x)必是偶函數(shù);
②如果函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R,都有f(2+x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù);
③如果函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
,那么函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=f(x-1)+2的圖象一定不會(huì)重合.
其中真命題的序號(hào)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①如果函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R,都有f(1+x)=f(1-x),那么函數(shù)f(x)必是偶函數(shù);
②要得到函數(shù)y=sin(1-x)的圖象,只要將函數(shù)y=sin(-x)的圖象向右平移1個(gè)單位即可;
③如果函數(shù)f(x)對(duì)任意的x1、x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,那么函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=f(x-2)+1的圖象一定不能重合.其中真命題的序號(hào)是
 

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