Question

對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=f（x），且當0≤x≤2時，f（x）=min{2^x-1，2-x}．若方程f（x）-mx=0恰有4個零點，則m的取值范圍是（　�。�

• A、（-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ）
• B、（-

  1

  3

  ，-

  1

  5

  ）
• C、（

  1

  5

  ，

  1

  3

  ）
• D、（-

  1

  3

  ，-

  1

  5

  ）∪（

  1

  5

  ，

  1

  3

  ）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)定義，求出函數(shù)f（x）的表達式，利用函數(shù)奇偶性和周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，由方程f（x）-mx=0，得f（x）=mx利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：當0≤x≤2時，f（x）=min{2^x-1，2-x}=

2x-1， 0≤x≤1 2-x， 1＜x≤2

．
∵在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期是4，
由方程f（x）-mx=0，得f（x）=mx，
作出函數(shù)f（x）和g（x）=mx的圖象如圖，
當m=0時，方程由無窮多個根，不滿足條件，
若m＞0，則要使方程f（x）-mx=0恰有4個零點，
則滿足

g(3)＜1 g(5)＞1

，即

3m＜1 5m＞1

，即

m＜ 1 3 m＞ 1 5

，解得

1

5

＜m＜

1

3

，
若m＜0，則要使方程f（x）-mx=0恰有4個零點，
則滿足

g(-3)＜1 g(-5)＞1

，即

-3m＜1 -5m＞1

，即

m＞- 1 3 m＜- 1 5

，解得-

1

3

＜m＜-

1

5

，
綜上a∈（-

1

3

，-

1

5

）∪（

1

5

，

1

3

），
故選：D

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性作出函數(shù)f（x）的圖象，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題 是解決本題的關鍵．要注意使用數(shù)形結合的數(shù)學思想．