Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1．
（1）求過點(diǎn)P(

1

2

，

1

2

)且被點(diǎn)P平分的弦所在直線的方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）過點(diǎn)A（2，1）引直線與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，求截得的弦BC中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，求斜率，再代入直線的點(diǎn)斜式方程即可．
（2）同（1）類似，設(shè)出這一系列的弦與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，求斜率，再讓斜率等于2，化簡，即可得斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．
（3）設(shè)出直線BC方程，用參數(shù)k表示

x1+x2

2

，

y1+y2

2

，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消去k，即可得弦BC中點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)過點(diǎn)P(

1

2

，

1

2

)且被點(diǎn)P平分的弦與橢圓交與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）點(diǎn)，
則

x1+x2

2

=

1

2

，

y1+y2

2

=

1

2

∵A，B在橢圓上，∴

(x1)2

2

+(y1)2=1①

(x2)2

2

+(y2)2=1②
②-①得，

x2-x1

2

+(y2-y1)=0

y2-y1

x2-x1

=-

x2+x1

2(y2+y1)

=-

1

2

即，弦AB的斜率為-

1

2

∴方程為y-

1

2

=-

1

2

（x-

1

2

）
即y=-

1

2

x+

3

4

（2）設(shè)斜率為2的平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則根據(jù)中點(diǎn)弦的斜率公式，有-

x

2y

=2
y=-

x

4

(-

4

3

＜x＜

4

3

)
（3）當(dāng)過點(diǎn)A（2，1）引的直線斜率存在時，設(shè)方程為y-1=k（x-2），
代入橢圓方程，消y，得（

1

2

+k²）x²+2（1-2k）kx+4k²-4k=0
∴x₁+x₂=

2k(2k-1)

1 2 +k2

，y₁+y₂=

-2k+1

1 2 +k2

，
設(shè)弦BC中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則x=

x1+x2

2

=

k(2k-1)

1 2 +k2

，y=

y1+y2

2

=

-2k+1

2( 1 2 +k2)

，
∴

x

y

=-2k
又∵k=

y-1

x-2

，∴

x

y

=-

2(y-1)

x-2

，整理得x²-2x+2y²-2y=0
當(dāng)過點(diǎn)A（2，1）引的直線斜率不存在時，方程為x=2，與橢圓無交點(diǎn)
∴所求弦BC中點(diǎn)的軌跡方程為x²-2x+2y²-2y=0．

點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的斜率，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．