Question

設△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a，b，c，且2bcosA=ccosA+acosC
（1）求角A的大�。�
（2）若角B=，角A的平分線交方BC于M，且AM的長為，求AB的長和△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知等式右邊提取，利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，然后利用正弦定理化簡，根據(jù)b不為0，左右兩邊同時除以b，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）根據(jù)題意畫出相應的圖形，由AM為角平分線，利用角平分線定義求出∠CAM的度數(shù)，由∠BMA為三角形ACM的外角，利用外角的性質求出∠BMA的度數(shù)，再由∠B的度數(shù)，及AM的長，利用正弦定理求出AB的長，由三角形ABC為等腰三角形，利用三線合一得到D為AB的中點，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出h的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：（1）∵2bcosA=ccosA+acosC=（acosC+ccosA）=2R（sinAcosC+sinCcosA）=2Rsin（A+C）=2RsinB=b，
∴cosA=，又A為三角形的內(nèi)角，
∴A=；
（2）在等腰三角形ABM中，B=，AM=，
∵AM為∠CAB的平分線，∴∠CAM=∠BAM=，
∴∠BMA=+=，
由正弦定理=，得AB==，
∴AB邊上的高為h=tan=，
則S_△ABC=•AB•h=．
點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等腰三角形的性質，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．