Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a₁最小，且a₁+a_n=66，a₂•a_n-1=128，前n項和S_n=126．
（1）求公比q；
（2）求n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)a_n=a₁q^n-1，用a_n和a₁表示出a₂•a_n-1根據(jù)韋達定理推知a₁和a_n是方程x²-66x+128=0的兩根，求得a₁和a_n進而求得q^n-1，把a₁和a_n代入S_n=126，進而求得q，
（2）把q代入q^n-1=32，求得n．

解答：解：（1）∵{a_n}成等比數(shù)列，∴a₁•a_n=a₂•a_n-1=128，
∵a₁+a_n=66
∴a₁、a_n是方程x²-66x+128=0的兩個實數(shù)根，
解方程x²-66x+128=0，得：x₁=2，x₂=64；
又a₁最小，∴a₁=2，a_n=64；
又S_n=126，
∴由Sn=

a1-anq

1-q

從而得：

2-64q

1-q

=126，即q=2；
（2）由a_n=a₁q^n-1得：2×2^n-1=64，
∴n=6．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式．解題的過程中巧妙的利用了一元二次方程中的韋達定理是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．