Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a_n+1=2（1+

1

n

）²a_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=

an

n

，求

n

i=1

bi；
（3）設(shè)c_n=

n

an

，求證

n

i=1

Ci＜

17

24

．

Answer 1

分析：（1）由已知得，

an+1

(n+1)2

=  2•

an

n2

，構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入，采用錯(cuò)位相減法求和即可；
（3）把（1）求得的結(jié)果代入，通過(guò)對(duì)c_n進(jìn)行放縮，達(dá)到求和的目的，從而證明了不等式．

解答：解：（1）由已知得，

an+1

(n+1)2

=  2•

an

n2

，
∴{

an

n2

}是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=2，
∴

an

n2

=2ⁿ，
∴a_n=n²2ⁿ；

（2）b_n=

an

n

=n2ⁿ，

n

i=1

bi=1•2+2•2²+3•2³+…+n2ⁿ，
2

n

i=1

bi=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹，
∴-

n

i=1

bi=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹
∴

n

i=1

bi=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；

（3）c_n=

n

an

=

1

n2n

，
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n2n

=

n-1

n(n-1)2n

＜ 

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

- 

1

n2n

∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=

1

2

+

1

8

+

1

24

+…+

1

n2n

＜

1

2

+

1

8

+

1

24

+

1

3•23

-

1

4•24

…+

1

(n-1)2n-1

-

1

n2n

＜

17

24

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查學(xué)生根據(jù)數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式并利用錯(cuò)位相減法求和，以及把不能求和的數(shù)列問(wèn)題通過(guò)放縮的方法達(dá)到求和的目的．特別是問(wèn)題（3）的設(shè)問(wèn)形式，增加了題目的難度，綜合性強(qiáng)．