Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f（x）=．
（I）求f（0），f（1）；
（II）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）若f（a-1）＜-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）分別令x=0，-1結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可得出f（0）=0，f（1）=f（-1）=-1；
（II）由已知可以設(shè)x＞0，然后利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到-x＜0，利用已知求出x＞0時(shí)的解析式即可．本題要做出整體代換，用-x代換x，然后寫出整個(gè)定義域上的函數(shù)的解析式．
（Ⅲ）根據(jù)f（x）=在（-∞，0]上為增函數(shù)，結(jié)合奇偶性得出f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，將f（a-1）＜-1=f（1）
轉(zhuǎn)化成絕對(duì)值不等式|a-1|＞1，解之即得．
解答：解：（I）分別令x=0，-1即可得出f（0）=0，f（1）=f（-1）=-1；
（II）令x＞0，則-x＜0，f（-x）==f（x）
∴x＞0時(shí)，f（x）=
∴
（Ⅲ）∵f（x）=在（-∞，0]上為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
∵f（a-1）＜-1=f（1）
∴|a-1|＞1，
∴a＞2或a＜0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的解析式的求法，分段函數(shù)的概念，奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用．