Question

如圖，在長方體AC₁中，AB=BC=2，AA1=

2

，點E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD₁所為直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，試用向量方法解決下列問題：
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出A、F、B、E、C的坐標(biāo)，求出

AF

•

BE

，即可求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求出

AF

，平面BEC的一個法向量，利用cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF |•| n |

，求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．

解答：解：（1）以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（2，0，0），F(xiàn)（1，2，

2

2

），
B（2，2，0），E（1，1，

2

），C（0，2，0）．
∴

AF

=(-1，2，

2

2

)，

BE

=(-1，-1，

2

)，…（4分）
∴

AF

•

BE

=1-2+1=0…（6分）
所以AF和BE所成的角為90°．…（7分）
（2）設(shè)平面BEC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
又 

BC

=(-2，0，0)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
則：

n

•

BC

=-2x=0，

n

•

BE

=-x-y+

2

z=0．
∴x=0，令z=1，則：y=

2

，∴

n

=（0，

2

，1）．…（10分）
∴cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF |•| n |

=

5 2 2

22 2 × 3

=

5 33

33

．…（12分）
設(shè)直線AF和平面BEC所成角為θ，則：Sinθ=

5 33

33

．
即 直線AF和平面BEC所成角的正弦值為

5 33

33

．…（14分）

點評：本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，異面直線所成的角的求法，直線與平面所成角的求法，考查計算能力．