Question

已知集合A＝{x|x²＋4x＝0}，集合B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0}，其中x∈R．

(1)若A∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若A∪B＝B，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)易知A＝{0，－4}，又A∩B＝B，即AB， 　　∴B＝或{0}或{－4}或{0，－4}． 　　①當(dāng)B＝時(shí)，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0無(wú)實(shí)數(shù)解， 　　∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1． 　�、诋�(dāng)B＝{0}或{－4}時(shí)，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根， 　　∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，得a＝－1，此時(shí)B＝{0}，滿(mǎn)足題意． 　�、郛�(dāng)B＝{－4，0}時(shí)，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根－4，0，則－2(a＋1)＝－4＋0且a2－1＝0，解得a＝1，此時(shí)B＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}，滿(mǎn)足題意． 　　綜上，可知a≤－1或a＝1． 　　(2)由已知得A＝{0，－4}．又A∪B＝B，即AB．又∵B為二次方程的解集，其中最多有2個(gè)元素，∴B＝{0，－4}，即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩根為0和－4．由(1)知a＝1．

提示：

本題體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想，要注意空集這一特殊集合．