Question

對于函數(shù)y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù)．若f（x）=lnx+x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

（1，1+

1

e

）

．

Answer 1

分析：由于f（x）在定義域{x|x＞0} 內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的極大值為：g（e）=1+

1

e

，當(dāng)x趨于0時(shí)，g（x）趨于-∞，當(dāng)x趨于∞時(shí)，g（x）趨于1，因此當(dāng)1＜k＜1+

1

e

時(shí)，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，從而求得k的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=lnx+x，定義域?yàn)閧x|x＞0}，f（x）在定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b為方程lnx+x=kx的兩個(gè)不同根．
∴k=1+

lnx

x

，令 1+

lnx

x

=g（x），令 g'（x）=

1-lnx

x2

=0，可得極大值點(diǎn)x=e，故g（x）的極大值為：g（e）=1+

1

e

，
當(dāng)x趨于0時(shí)，g（x）趨于-∞，當(dāng)x趨于∞時(shí)，g（x）趨于1，
因此當(dāng)1＜k＜1+

1

e

 時(shí)，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程 k=1+

lnx

x

有兩個(gè)解．
故所求的k的取值范圍為（1，1+

1

e

），
故答案為 （1，1+

1

e

）．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．