Question

若橢圓E₁：和橢圓E₂：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過（且與橢圓相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設過原點的一條射線l分別與（Ⅰ）中的兩橢圓交于A、B兩點（點A在線段OB上）．
①若P是線段AB上的一點，若|OA|，|OP|，|OB|成等比數(shù)列，求P點的軌跡方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出與橢圓相似的橢圓的方程為：，結(jié)合題目條件可求得a²=16，b²=8；
（Ⅱ）①對過原點的一條射線l的斜率分存在與不存在進行討論，不存在時可求得點P的坐標，存在時設出直線l的方程為：y=kx，P（x，y），由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則，從而可得，于是有：
，同理，又點P在l上，則，代入即可求得P點的軌跡方程；
②由①可知，當l的斜率不存在時，|OA|•|OB|=4，當l的斜率存在時，可求得|OA|•|OB|=4+，從而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）設與相似的橢圓的方程．
則有…（3分）
解得a²=16，b²=8．
所求方程是．…（4分）
（Ⅱ）  ①當射線l的斜率不存在時，
設點P坐標P（0，y），則y²=4，y=±2．即P（0，±2）．…（5分）
當射線l的斜率存在時，設其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
得
∴同理…（7分）
又點P在l上，則，且由，
即所求方程是．
又∵（0，±2）適合方程，
故所求橢圓的方程是．…（9分）
②由①可知，當l的斜率不存在時，，當l的斜率存在時，，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查橢圓的標準方程，消參法求點的軌跡，難點在于直線與橢圓的綜合分析與應用，思維深刻，運算復雜，難度大，屬于難題．