若函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x1,x2∈D,均有|f(x2-f(x1))|≤|x2-x1|,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”.下列函數(shù)是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”的是( 。
分析:新定義函數(shù)類型的題目,解答時要先充分理解定義:“平緩函數(shù)”才能答題,只需按照定義作差:
|f(x1)-f(x2)|,然后尋求|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|成立的條件,滿足則是“平緩函數(shù)”,否則舉反例可說明不是“平緩函數(shù)”.
解答:解:f(x)=cosx是R上的“平緩函數(shù),f(x)=x2-x,f(x)=(
1
2
)x
,f(x)=3x-2不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”;
對于選項A,設φ(x)=x-cosx,則φ'(x)=1+sinx≥0,則φ(x)=x-cosx是實數(shù)集R上的增函數(shù),
不妨設x1<x2,則φ(x1)<φ(x2),即x1-cosx1<x2-cosx2,
則cosx2-cosx1<x2-x1
又y=x+cosx也是R上的增函數(shù),則x1+cosx1<x2+cosx2,
即cosx2-cosx1>x1-x2
由①、②得-(x2-x1)<cosx2-cosx1<x2-x1
因此|cosx2-cosx1|<|x2-x1|,對x1<x2的實數(shù)都成立,
當x1>x2時,同理有|cosx2-cosx1|<|x2-x1|成立
又當x1=x2時,等式|cosx2-cosx1|=|x2-x1|=0,
故對任意的實數(shù)x1,x2∈R,均有|cosx2-cosx1|≤|x2-x1|
因此 sinx是R上的“平緩函數(shù);
對于選項B,由于|f(x1)-f(x2)|=|(x1-x2)(x1+x2-1)|
取x1=3,x2=1,則|f(x1)-f(x2)|=4>|x1-x2|,
因此,f(x)=x2-x不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”;
對于選項C,由于|f(x1)-f(x2)|=|(
1
2
)x1-(
1
2
)x2
|
取x1=-3,x2=-2,則|f(x1)-f(x2)|=4>|x1-x2|,
因此,f(x)=(
1
2
)x
不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”;
對于選項D,由于|f(x1)-f(x2)|=|3(x1-x2)|
取x1=3,x2=1,則|f(x1)-f(x2)|=6>|x1-x2|,
因此,f(x)=3x-2不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”.
故選A.
點評:本題是新定義題,考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)之間的關系,要判斷一個函數(shù)是“平緩函數(shù)”需要嚴格的證明,說明一個函數(shù)不是“平緩函數(shù)”,只需舉一個反例即可.此題是中檔題.
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1
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1
4

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等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若函數(shù)f(x)對任意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=1,數(shù)列{bn}滿足bn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…
+f(
n-1
n
)+f(1)
,設cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

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