Question

若函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x₁，x₂∈D，均有|f（x₂-f（x₁））|≤|x₂-x₁|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”．下列函數(shù)是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”的是（　�。�

• A．f（x）=cosx
• B．f（x）=x²-x
• C．f（x）=（

  1

  2

  ）^x
• D．f（x）=3x-2

Answer 1

分析：新定義函數(shù)類型的題目，解答時要先充分理解定義：“平緩函數(shù)”才能答題，只需按照定義作差：
|f（x₁）-f（x₂）|，然后尋求|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|成立的條件，滿足則是“平緩函數(shù)”，否則舉反例可說明不是“平緩函數(shù)”．

解答：解：f（x）=cosx是R上的“平緩函數(shù)，f（x）=x²-x，f（x）=(

1

2

)x，f（x）=3x-2不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；
對于選項A，設φ（x）=x-cosx，則φ'（x）=1+sinx≥0，則φ（x）=x-cosx是實數(shù)集R上的增函數(shù)，
不妨設x₁＜x₂，則φ（x₁）＜φ（x₂），即x₁-cosx₁＜x₂-cosx₂，
則cosx₂-cosx₁＜x₂-x₁ ①
又y=x+cosx也是R上的增函數(shù)，則x₁+cosx₁＜x₂+cosx₂，
即cosx₂-cosx₁＞x₁-x₂ ②
由①、②得-（x₂-x₁）＜cosx₂-cosx₁＜x₂-x₁
因此|cosx₂-cosx₁|＜|x₂-x₁|，對x₁＜x₂的實數(shù)都成立，
當x₁＞x₂時，同理有|cosx₂-cosx₁|＜|x₂-x₁|成立
又當x₁=x₂時，等式|cosx₂-cosx₁|=|x₂-x₁|=0，
故對任意的實數(shù)x₁，x₂∈R，均有|cosx₂-cosx₁|≤|x₂-x₁|
因此 sinx是R上的“平緩函數(shù)；
對于選項B，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-1）|
取x₁=3，x₂=1，則|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=x²-x不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；
對于選項C，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|(

1

2

)x1-(

1

2

)x2|
取x₁=-3，x₂=-2，則|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=(

1

2

)x不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；
對于選項D，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|3（x₁-x₂）|
取x₁=3，x₂=1，則|f（x₁）-f（x₂）|=6＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=3x-2不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”．
故選A．

點評：本題是新定義題，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)之間的關系，要判斷一個函數(shù)是“平緩函數(shù)”需要嚴格的證明，說明一個函數(shù)不是“平緩函數(shù)”，只需舉一個反例即可．此題是中檔題．