Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

1+x

1-x

（1）求 f（x） 的定義域；
（2）討論f（x） 的奇偶性；
（3）用定義討論 f（x） 的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=log₂=

1+x

1-x

，知

1+x

1-x

＞0，由此能求出f（x）的定義域．
（2）由f（x）定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}且f（-x）=log2

1-x

1+x

=-f（x），推導(dǎo)出f（x）是定義（-1，1）上的奇函數(shù)．
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，利用定義法能推導(dǎo)出f（x）在定義域（-1，1）上是增函數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）=log₂

1+x

1-x

，
∴

1+x

1-x

＞0，解得：-1＜x＜1，
所以 f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
（2）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x），
所以，f（x）是定義（-1，1）上的奇函數(shù)．
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1+x₁＜1+x₂＜1，0＜1-x₂＜1-x₁＜1，
∴0＜

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜1，
∴log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)＜0，
所以，f（x）在定義域（-1，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．