Question

設(shè)函數(shù)f （x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=C(C為常數(shù))成立，則稱函數(shù)f （x）在D上均值為C，給出下列四個(gè)函數(shù)①y=x³，②y=4sinx，③y=lgx，④y=2^x，
則滿足在其定義域上均值為2的函數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：首先分析題目求對(duì)于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立的函數(shù)．
對(duì)于函數(shù)①y=x³，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一的x2=

3	4-  x 3 1

，即可得到成立．
對(duì)于函數(shù)②y=4sinx，因?yàn)閥=4sinx是R上的周期函數(shù)，明顯不成立．
對(duì)于函數(shù)③y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然成立．
對(duì)于函數(shù)④y=2^x，特殊值法代入驗(yàn)證不成立成立．即可得到答案．

解答：解：對(duì)于函數(shù)①y=x³，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 3 1 + x 3 2

2

=2，x2=

3	4-  x 3 1

，可以得到唯一的x₂∈D．故滿足條件．
對(duì)于函數(shù)②y=4sinx，明顯不成立，因?yàn)閥=4sinx是R上的周期函數(shù)，存在無(wú)窮個(gè)的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不滿足條件．
對(duì)于函數(shù)③y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
對(duì)于函數(shù)④y=2^x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對(duì)于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng)：此題主要應(yīng)用新定義的方式考查平均值不等式在函數(shù)中的應(yīng)用．對(duì)于新定義的問(wèn)題，需要認(rèn)真分析定義內(nèi)容，切記不可偏離題目．