Question

如圖α-l-β是120°的二面角，A、B兩點在棱l上，AB=2，D在α內，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β內，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求三棱錐D-ABC的體積；?
（2）求二面角D-AC-B的大小．?
（3）求異面直線AB、CD所成的角．

Answer 1

分析：（1）過D作DO⊥β于點O，連接OA并延長至E，可證出∠DAE為二面角α-l-β的平面角，得∠DAO=180°-120°=60°．Rt△ADO中，算出DO=

3

，即為三棱錐D-ABC的高，最后算出△ABC的面積，再利用錐體體積公式即得三棱錐D-ABC體積；
（2）過O在β內作OM⊥AC于M，連接DM，則AC⊥DM，得∠DMO為二面角D-AC-B的平面角．然后在Rt△ODM中，算出OM的長．Rt△ODM中利用直角三角形中正切的定義，得tan∠DMO=

6

，即得二面角D-AC-B的大小為arctan

6

；
（3）在β內過C作CE∥AB交AE于F，可得∠DCF（或其補角）為異面直線AB、CD所成的角．Rt△DCF中，算出CF、DF的長，從而得到tan∠DCF=

DF

CF

=

7

，即得異面直線AB、CD所成的角為arctan

7

．

解答：解：（1）過D向平面β作垂線，垂足為O，連接OA并延長至E，
∵AB⊥AD，OA為DA在平面β內的射影，
∴AB⊥OA，∴∠DAE為二面角α-l-β的平面角  （2分）
∴∠DAE=120°，∠DAO=60°，
∵AD=AB=2，∴Rt△ADO中，DO=ADsin60°=

3

，
∵△ABC是等腰直角三角形，斜邊AB=2．
∴S_△ABC=

1

2

×2×1=1，
又∵D到平面β的距離DO=

3

，
∴V_D-_ABC=

1

3

×S_△ABC×DO=

3

3

．（4分）
（2）過O在β內作OM⊥AC于M，連接DM，則AC⊥DM，
∴∠DMO為二面角D-AC-B的平面角，（6分）
在△DOA中，OA=2cos60°=1，且∠OAM=∠CAE=45°，
∴Rt△OAM中，OM=OAsin45°=

2

2

，
∴Rt△ODM中，tan∠DMO=

OD

OM

=

6

，
因此，∠DMO=arctan

6

，即二面角D-AC-B的大小為arctan

6

．（8分）
（3）在β內過C作AB的平行線交AE于F，
∴∠DCF（或其補角）為異面直線AB、CD所成的角  （10分）
∵AB⊥AF，AB⊥AD，CF∥AB，
∴CF⊥DF，結合∠CAE=45°，得△ACF為等腰直角三角形，
又∵AF等于C到AB的距離，即為△ABC斜邊上的高，
∴AF=CF=

2

2

AB=1，
∴DF²=AD²+AF²-2AD•AF•cos120°=7，得DF=

7

在Rt△DCF中，tan∠DCF=

DF

CF

=

7

，得∠DCF=arctan

7

，
即異面直線AB、CD所成的角為arctan

7

．（12分）

點評：本題給出120度的二面角和分別在兩個半平面的等腰直角三角形，求三棱錐的體積和異面直線所成角的大小，著重考查了二面角平面角的作法和異面直線所成角的求法等知識，考查了解三角形的知識，屬于中檔題．