Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x2+ax，g（x）=2x+b，當x=1+

2

時，f（x）取得極值．
（1）求a的值，并判斷f(1+

2

)是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（2）當x∈[-3，4]時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)等于0，求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)在極值點左側(cè)、右側(cè)的符號，判斷是極大值還是極小值．
（2）設(shè)f（x）=g（x），則得 b=

1

3

x3-x2-3x．設(shè)F(x)=

1

3

x3-x2-3x，G（x）=b，由F'（x）的符號判斷
函數(shù)F（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，從而求出F（x）的值域，由題意得，函數(shù)F（x）與G（x）的圖象有兩個公共點，
從而得到b的取值范圍．

解答：解：（1）由題意f'（x）=x²-2x+a，
∵當x=1+

2

時，f（x）取得極值，
∴所以f′(1+

2

)=0，
∴(1+

2

)2-2(1+

2

)+a=0，
∴即a=-1
此時當x＜1+

2

時，f'（x）＜0，
當x＞1+

2

時，f'（x）＞0，
則f(1+

2

)是函數(shù)f（x）的最小值．
（2）設(shè)f（x）=g（x），則

1

3

x3-x2-3x-b=0，b=

1

3

x3-x2-3x，
設(shè)F（x）=

1

3

x3-x2-3x，G（x）=b，F(xiàn)'（x）=x²-2x-3，令F'（x）=x²-2x-3=0解得x=-1或x=3，
∴函數(shù)F（x）在（-3，-1）和（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)．
當x=-1時，F(xiàn)（x）有極大值F（-1）=

5

3

；當x=3時，F(xiàn)（x）有極小值F（3）=-9，
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，F(xiàn)（-3）=-9，F(xiàn)（4）=-

20

3

，
∴函數(shù)F（x）與G（x）的圖象有兩個公共點，結(jié)合圖象可得
∴-

20

3

＜b＜

5

3

或b=-9，
∴b∈(-

20

3

，

5

3

)∪{-9}．

點評：本題考查函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)等于0，利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間、極值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．