Question

已知點P是直線l：ax+y=1上任意一點，直線l垂直于直線y=-x+m，EF是圓M：x²+（y-2）²=1的直徑，則的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：數(shù)形結合，由=2，平方可得 =，△PEF中，由余弦定理可得 PE²+PF²=2 +4，綜合可得 =PM²-1，由于PM的最小值是點M到直線l：x-y+1=0 的距離，為 =，由此求得 的最小值．
解答：解：由兩條直線垂直的性質可得-a×（-1）=-1，解得a=-1，
故直線l：ax+y=1，即 y=x+1．
如圖所示：由題意可得M（0，2），EF=2 為直徑．
由于=2，平方可得 ++2=4，
∴==  ①．
△PEF中，由余弦定理可得 EF²=4=PE²+PF²-2PE•PFcos∠EPF
=PE²+PF²-2，
∴PE²+PF²=2 +4  ②，
把②代入①可得 ==2PM²--2，
∴2 =2 PM²-2，即 =PM²-1，故當PM最小時，取得最小值．
由于PM的最小值是點M到直線l：x-y+1=0 的距離，為 =，
故的最小值為 PM²-1=-1=-．
故答案為-．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，直線和圓相交的性質，余弦定理的應用，屬于中檔題．